河童の（人から聞いた話をさも自分のことのように語る）数学講座

どうも、寒さ堪えて泣いてる河童です

秋山さんのところで1=2の証明の問題があったので、ちょっと補足しとかねばならないと思って急遽記事を書きました

ではまいりましょう
秋山さんのところで言っていた1=2というのは、数学の世界で発生する奇妙な現象の話です
なんとも厨臭い話題ですが、興味あるひとだけは見ていってください

注意）河童は数学科専攻でもなく、寧ろセンター試験で40点台（200点満点）をとるような奴です。それでもよければどうぞ

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恐らく秋山さんが見たであろう証明を紹介します
因みに、^はexelでよく使う累乗の記号です

a=bとする
両辺にaを掛けると
a^2=ab
両辺からb^2を引くと
a^2-b^2=ab-b^2
因数分解して
(a+b)(a-b)=b(a-b)
両辺を(a-b)で割ると
a+b=b
a=bより
b+b=b→2b=b
よって2=1__Q.E.D.

なんとも納得してしまいそうな証明です。たしかにこれなら1=2が証明できてしまいます
しかし、結論から言うとこの証明は成り立たないんです

この証明で重要なのは(a-b)の存在
a=bということは、1-1=0なのです
実はこの0、こいつが存在することによってこの証明が重大なルール違反となってしまっています

どういうことか

この式を変化さしてしまいましょう

0=0とする
両辺に0を掛けると
0x0=0x0
両辺から0を引くと
0=0
ax0=0(a=有理数から無理数まで）から
1x0=2x0
両辺を0で割ると
1=2
よって1=2__Q.E.D.

なんか変ではないですか？
これが数学における大いなる禁じ手、「両辺を0で割る、ないし0をかける」です
1x0=0です
20,000x0=0です
848,463,500,000,000x0=0です
因みに、上の848兆とは、財務省のHPにある借金時計の2010/11/18 20:00頃の日本の借金額です。0かけて一瞬で消えたらそれはそれは楽しいことでしょう
つまり0とは、対峙した存在を一瞬で無に帰す能力を有するのです。なんかこんな厨二病表現してみたかった。滅びのバーストストリームなんです

これをやっちゃうと、どんな数学の証明問題を出しても
「両辺に0を掛けると答えが0となるため、証明は不可である」となってしまいます。そんあことがあってたまるものですか。中学のテストで点数のバーゲンセールになっちゃいます

だから簡単にいえば、「両辺に0を掛けちゃいけない」んです。
なんでか。単純に、数学が破綻するからです。結果的に、1=2とか言う訳のわからない結果が生じてしまったわけです
納得がいかない方はそれで構いません。ただ、0をかけては答えが出ないだけです。もしもこの内容を知ってしまった受験生の方や、数学のテストがある人は絶対に真似しないでください
というか、そもそも聞かれてる問題に「出来ません（ｷﾘｯ」って答えたらそらバツくらいますよ…


というわけで、数学の奇妙な話でした

因みに、0.9999...=1の証明は、一応正しい証明です
小数についての考察は追記に書きます

では、なんだか見聞きした話をさも自分が見つけたように書いたことを後悔しながらこの辺で川流れ
あー、今読み返してみると恥ずかしい…

循環小数というものがあります
例えば1/3。これは小数で表すと0.33333...となります。あと2/3の0.101010...も循環小数です。つまり循環小数というのは、同じような数字の塊が何度も何度も無限に繰り返していく小数のことです

しかしこの小数、実は奇妙なルールが存在します

1/2は0.5で表せて、このようにきれいに割り切れるものを有限小数といいます。しかしこの1/2、実は0.49999...としても表現できます。実はこのルールが適用されると、1=0.999...となるのです。なんとも奇妙は感じです
しかし一応『2通りの小数表示が可能であるのはその一方が有限小数である場合に限る』という条件があります

有限小数及び正の実数は、循環節を9とする循環小数で表すことが出来る
つまり一般的に0.999...とは「1に限り無く近いけど違う物」と考えられますが、数学に於いてはおんなじものらしいです。

なんでこうなったか、一応説明しておきます

1/3=0.3333...
0.3333...x3=0.9999...
即ち
1/3x3=1
よって0.9999...=1___Q.E.D.

考えて見れば簡単なことです。しかしどうにもややこしい
しかし何も知らないでみてみるとなんとも奇妙な感じがします
みなさんも、なぞなぞとして誰かに出題してみてはいかがでしょうか